Le théorème de Varignon

Je viens de relire un ancien numéro de la revue mathématiques Tangente (le N° 150 pour être précis) et suis tombé sur leur dossier consacré au quadrilatère et certaines de ses propriétés intéressantes. Je trouve l’une d’elle assez sympathique, elle est décrite par le théorème de Varignon :

Soit un quadrilatère convexe $ABCD$, le quadrilatère construit à partir des milieux de chaque côté de $ABCD$ est un parallélogramme.

La démonstration n’est pas très compliquée, sauriez-vous la retrouver ?

Solution en cliquant sur "en savoir plus".



Prenons les coordonnées des points $A(x_{a},y_{a})$, $B(x_{b},x_{b})$, $C(x_{c},x_{c})$, $D(x_{d},y_{d})$

La détermination des coordonnées des milieux $I, J , K, L$ est immédiate :
$$I\left(\cfrac{x_{a}+x_{b}}{2},\cfrac{y_{a}+y_{b}}{2}\right)$$ $$J\left(\cfrac{x_{b}+x_{c}}{2},\cfrac{y_{b}+y_{c}}{2}\right)$$ $$K\left(\cfrac{x_{c}+x_{d}}{2},\cfrac{y_{c}+y_{d}}{2}\right)$$ $$L\left(\cfrac{x_{d}+x_{a}}{2},\cfrac{y_{d}+y_{a}}{2}\right)$$
Jusque là, rien d'extraordinaire. Maintenant, calculons les coordonnées de $O_{1}$ milieu de IK et $O_{2}$, milieu de $JL$. Cela donne :
$$O_{1}\left(\cfrac{\cfrac{x_{a}+x_{b}}{2}+\cfrac{x_{c}+x_{d}}{2}}{2},\cfrac{\cfrac{y_{a}+y_{b}}{2}+\cfrac{y_{c}+y_{d}}{2}}{2}\right)$$ et $$O_{2}\left(\cfrac{\cfrac{x_{b}+x_{c}}{2}+\cfrac{x_{d}+x_{a}}{2}}{2},\cfrac{\cfrac{y_{b}+y_{c}}{2}+\cfrac{y_{d}+y_{a}}{2}}{2}\right)$$
On s'aperçoit que
$$O_{1}=O_{2}=\left(\cfrac{x_{a}+x_{b}+x_{c}+x_{d}}{4},\cfrac{y_{a}+y_{b}+y_{c}+y_{d}}{4}\right)$$
Les deux segments se coupent donc en leur milieu.

On rappelle le théorème suivant :

Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieux.

Conclusion : $IJKL$ est bien un parallélogramme.

Cela est il vrai pour les quadrilatères concaves ou croisés ?

Essayez ci dessous, vous constaterez en déplaçant n'importe quel point du quadrilatère $ABCD$

Théorème de Varignon Déplacer un des sommets du quadrilatère ABCD afin de le déformer comme bon vous semble et visualiser que IJKL reste toujours un parallélogramme. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Jean-Marc ANSELME, 6 Septembre 2013, Créé avec GeoGebra