L'Empire des Nombres (D Guedj)

Je viens de terminer la lecture de L'empire des nombres, de Denis GUEDJ (Découvertes Gallimard, Sciences et techniques, N°300, éd. 1996).

Et voici la couverture de la version anglaise que je viens de découvrir :

Je commence par ce passage à la page 61 du livre :

"1,2,3... ces nombres, dont la réalité est si manifeste qu'on les dit "naturels", que savons nous d'eux ?"

Ce livre, du mathématicien et écrivain Denis GUEDJ (1940-2010) retrace l'aventure extraordinaire des nombres, qui nous a conduit à considérer comme allant de soit de compter, écrire les nombres, écrire un calcul, effectuer les 4 opérations (+ - x /). Considérer comme allant de soit l'existence du zéro, des nombres négatifs, des nombres réels, des infinis, de la continuité, des nombres complexes, etc.

D. GUEDJ dans ce livre montre bien la longue évolution dans la pensée de l'homme qui a permis d'aboutir à cela. Ses talents de vulgarisateur lui permettent d'exprimer "simplement" toute la démarche intellectuelle qu'il a fallut que l'homme déploie pour agrandir l'empire des nombre depuis les entiers naturels jusqu'aux nombres complexes, en passant par les entiers relatifs, et les nombres rationnels, etc.

Savons nous que ce n'est qu'au Ve siècle que le zéro a été introduit par les indiens parce que indispensable dans la numération de position qu'ils ont mis en place et qui est celle que nous utilisons toujours ?

Savons nous que l'Occident fut réticent à adopter les nombres négatifs ? Il ne le fit que mille ans après les indiens, au XVe siècle. Et pourtant, nous n'avons aucun problème à indiquer des températures négatives, à descendre au niveau $-2$ du parking souterrain !

Savons nous que ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle que les notions d'infinis ont été clarifiées (par Cantor et Dedekind) ?

Et bien d'autres choses passionnantes nous sont contées dans cet ouvrage. De plus cet ouvrage contient de nombreuses illustrations et références.

Je ne peut résister à citer quelques passages :

"Ce qui pour nous est une évidence : écrire un calcul, effectuer directement les opérations avec l'écriture des nombres, se révèle une pratique tardive et exceptionnelle dans l'histoire des hommes. ce calcul par l'écrit, et par l'écrit seul, n'a pu se réaliser pleinement que par la numération indienne de position munie d'un zéro, vers le ve siècle de notre ère. Dix figures seulement pour représenter tous les nombres du monde".

Sur le zéro, un de mes passages préféré :
"Totalement impuissant dans l'addition, $n+0=n$; il est en revanche tout puissant dans la multiplication $nx0=0$. Quant à l'élévation à la puissance : si $a$ est différent de $0$, $a^0=1$. Mais attention à la division! On ne divise pas par $0$, c'est l'interdit suprême"

De l'étimologie du zéro :
"Sunya c'est le nom de la marque du vide en langue indienne; ainsi la première figuration du zéro fut un petit cercle, sunya, le vide. traduit en arabe cela devient sifr, traduit en latin, zephirum, qui donna zéphiro, zéro. Ainsi, dans de nombreuses langues, le dernier venu parmi les chiffres, le sifr, a donné son nom à la collection entière des chiffres."

Passionnant ...

J'ai appris au gré de mes recherches qu'un film a été réalisé par  à partir de ce livre  et qu'on peut se le procurer sur le site de la chaîne ARTE : http://boutique.arte.tv/empire_des_nombres. Je n'ai pas eu l'occasion de voir ce film.

Décomposition canonique des entiers relatifs - Code Scilab

C'est quoi ?

La décomposition canonique d'un entier relatif consiste à l'écrire comme un produit de puissances entières de nombres premiers. On peut démontrer que cette décomposition est unique. Je trouve cela passionnant, un peu comme si les nombres premiers étaient les atomes des entiers.

Quelques exemples

$12=2^2 \cdot 3$
$97=97$ (pas étonnant, c'est un nombre premier !)
$222=2 \cdot 3 \cdot 37$
$432=2^4 \cdot 3^3$
$624=2^4 \cdot 3 \cdot 13 $
$4325854=2 \cdot 13 \cdot17 \cdot 9787$

A quoi ça peut servir ?

Obtenir cette décomposition peut être très pratique pour obtenir certains résultats, par exemple le PGCD, le PPCM de deux entiers $p$ et $p$, écrire la racine carrée d'un entier $n$ sous forme irréductible, écrire le quotient de deux entiers $p$ et $q$ sous forme irréductible et certainement bien d'autres choses.
Je décrirai ces autres possibilités dans de futurs posts.

Code Scilab

C'est mon premier véritable code Scilab que je créé, donc, malgré sa simplicité apparente, j'ai un peu bataillé, surtout pour découvrir les fonctions offertes par ce logiciel.

Deux fonctions m'ont été très utile, sans elles, le code aurait été je pense plus compliqué à élaborer :

•  factor(N) qui restitue sous forme de matrice les facteurs premiers de N (il peut y avoir des répétitions)
• unique(M) qui restitue sous forme de matrice la liste des facteurs premiers (supprime les répétitions)

Trouver comment utiliser string et strcat pour élaborer la chaîne de caractères qui affiche le résultat n'a pas été immédiat également.

Code Scilab - Décomposition canonique des entiers relatifs

clear str N=432 M=factor(N) MU=unique(M) l=length(M) lu=length(MU) P=zeros(1,lu) for n=1:lu for m=1:l if M(m)==MU(n) then P(n)=P(n)+1 end end end disp(M) disp(MU) disp(P) for n=1:lu str(n)=strcat([string(MU(n)),"^",string(P(n))]) end disp(string(N)+'='+strcat(str,".","r"))

Le théorème de Varignon

Je viens de relire un ancien numéro de la revue mathématiques Tangente (le N° 150 pour être précis) et suis tombé sur leur dossier consacré au quadrilatère et certaines de ses propriétés intéressantes. Je trouve l’une d’elle assez sympathique, elle est décrite par le théorème de Varignon :

Soit un quadrilatère convexe $ABCD$, le quadrilatère construit à partir des milieux de chaque côté de $ABCD$ est un parallélogramme.

La démonstration n’est pas très compliquée, sauriez-vous la retrouver ?

Solution en cliquant sur "en savoir plus".

Voyage au centre de la terre

Voici un article que j'avais écrit il y a un peu plus d'un an de cela sur un autre blog et que je reprends ici :

Je viens de relire, un des fameux romans de Jules Verne, Voyage au Centre de la Terre. Un pur bonheur que de retrouver ce genre de roman qui a apporté tant de rêve dans mon enfance. Cela fait du bien de temps en temps de relire quelques un de ces vieux romans. Et cela m'a donné l'envie d'en relire d'autres.
Et de toute évidence, ces romans ne font pas rêver que moi, si on en croit la filmographie qui s'y rattache.

Le roman

Le professeur Lindebrock, minéralogiste réputé et vivant à Hambourg, rentre chez lui le 24 mai 1863 munit d'un manuscrit du célèbre alchimiste Arne Sakenüssemm qu'il s'empresse d'étudier, promettant de ne rien manger tant qu'il n'en n'aurait pas déchiffrer les textes mystérieux qui le composent. Tout cela bien sûr au grand dam de son jeune neveu Axel et de la servante Marthe, car la privation de nourriture ne s'appliquait pas seulement à lui-même mais à toute la maisonnée. Nous avons là un des premier aperçut du caractère fort du professeur.

Le fameux texte mystérieux

La clé de déchiffrement de ce manuscrit est découverte inopinément par Axel, qui, à son corps défendant la révèle à son oncle qui, sur le champ, organise la fameuse expédition pour l'Islande, à laquelle, bien entendu, son neveu Axel se voit forcé d'y participer, et donc de subir un éloignement forcé de sa bien aimée Graüben. C'est en Islande qu'ils recruteront l'athlétique et taciturne guide Hans qui partagera leur aventure fabuleuse de bout en bout. Je n'en dirais pas plus pour ceux qui n'ont pas encore lu ce roman qui se lit rapidement, si ce n'est que le narrateur n'est autre qu'Axel, ce qui ne fait que rajouter de l'humour lorsque il est en proie aux reproches ou désaccords de son oncle.

La forêt de champignons

Le roman et la science

Ce qui me plait dans ce genre de roman, c'est qu'il correspond tout à fait à l'idée que je me fait de la science fiction. Jules Verne a su créer un environnement inconnu basé sur des argumentations scientifiques selon les connaissances de son époque. Et il y introduit les débats de l'époque, bien entendu, car c'est cela qui y met du piment. La plus fameuse est bien sûr celle de l'évolutionnisme. Puisque la faune que l'on découvre dans les sous terrains explorés par nos héros est celle de la préhistoire. Un monde parallèle au notre, proche mais inaccessible, qui a "oublié" d'évoluer. Je ne préciserais pas, pour ceux qui n'ont pas encore lu ce roman, la découverte finalement la plus surprenante, faite par le professeur et son neveu en fin de parcours...

Dérivés

Ce roman, comme d'autres du même auteur, à donné des adaptations diverses à la télévision, au cinéma, en bande dessinée, dont on peut trouver la liste sur l'article correspondant de sur wikipédia, Voyage au Centre de la Terre.
Noter que l'article de wikipédia ne cite pas une adaptation cinématographique de 1909, citée dans le fascicule des éditions Fabbri qui accompagne le livre que j'ai lu. Je serais bien curieux de voir cette adaptation de 9 min.

Calcul itinéraires

Je pratique assez régulièrement la course à pied. C'est toujours intéressant d'obtenir quelques détails sur les parcours. Bien entendu la distance, mais également le profil altimétrique, la vitesse moyenne etc.

Et bien, j'ai découvert un site intéressant, qui permet non seulement d'obtenir ces informations, mais également d'enregistrer son parcours afin de le partager. Cela permet bien sûr de découvrir d'autres parcours.

Ce site ne s'adresse pas uniquement aux joggeurs, mais également aux pratiquants de VTT, vélo, randonnées etc.

En plus on a la possibilité de télécharger son parcours en divers formats (GPS ... ), ce qui permet de manipuler les donner à sa convenance. 

En voici le lien et en illustration le parcours que j'ai enregistré.

http://www.calculitineraires.fr/

Liste des parcours recherchés selon les critères saisis

Les données de mon parcours. Attention, les données topo dépendent de la distance entre chaque point de mesure, pour une analyse fine, il faut à mon avis retravailler le graphe topo.

Graphe topo. Notez qu'en téléchargeant les points GPS on a la possibilité de les traiter sous excel